费马(Fermat，1601．8．17一1665．1．12)是法国数学家，生于法国南部图卢兹(Toulouse)附近的波蒙"德"罗曼(Beaumont-de-Lomagne)。

他的父亲多米尼客“费马在当地开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业．使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。父亲由于富有和经营有道，颇受人们尊敬，并因此而获得了地方事务顾问的头衔。但费马小时候并没有因为家境的富裕而产生多少优越感。费马的母亲名叫克拉莱"德"罗格，出身穿袍贵族。多米尼客的大富与罗格的大贵构筑了费马极富贵的身价。费马小时候就教于他叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响。直到14岁时，费马才进入波蒙一德一罗曼公学。毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。

17世纪的法国，男子最讲究的职业是当律师，因此，男子学习法律成为时髦，也使人敬羡。有趣的是，法国为那些有产的而缺少资历的“准律师”尽快成为律师创造了很好的条件。

1523年，佛朗期瓦一世组织成立了一个专门鬻卖官爵的机关，名叫“bureau des parties casuellcs”，公开出售官职。这种官职鬻卖的社会现象一经产生，便应时代的需要而一发不可收拾，且弥留今日。鬻卖官职，一方面迎合了那些富有者，使其获得官位从而提高社会地位，另一方面也常使政府的财政状况得以好转。因此，到了17世纪，除了宫廷官和军官以外的任何官职都可以买卖了。直到今日，法院的书记官、公证人、传达人等职务，仍没有完全摆脱买卖性质。法国的买官特产，使许多中产阶级从中受惠。费马也不例外。费马尚没有大学毕业，便在波蒙"德"罗曼买好了“律师”和“参议员”的职位。等到费马毕业返回家乡以后，他便很容易地当上了图卢兹议会的议员，时值1631年。尽管费马从步入社会直到去世都没有失去官职，而且逐年得到提升。但是据记载，费马没有什么政绩，应付官场的能力极普通，也谈不上领导才能。不过，费马并未因此而中断升迁。在费马任了7年的地方议会议员之后，费马升任丁调查参议员。这个官职有权对行政当局进行调查和提出质疑。

1642年，有一位权威人士叫勃里斯亚斯，他是最高法院顾问。勃里斯亚斯推荐费马进入了最高刑事法庭和法国大理院主要法庭。这使得费马以后得到了更好的升迁机会。

1646年，费马升任议会首席发言人。以后还当过天主教联盟的主席等职。费马的官场生涯没有什么突出政绩值得称道，不过，费马从不利用职权向人们勒索，从不受贿，为人敦厚，公开廉明，赢得了人们的信任和称赞。费马的婚姻使费马一跃而跻身于穿袍贵族的行列。费马娶了他的舅表妹露伊丝"德"罗格。原本就为母亲的贵族血统而感骄傲的费马，如今干脆在自己的姓名上加上了贵族姓氏的标志“de”。费马生有三女二男，除了大女儿克拉莱出嫁之外，四个子女都使费马而感到体面。两个女儿当牧师，次子当上了菲玛雷斯的副主教。尤其是长子克莱曼特"萨摩尔，他不仅继承了费马的公职，在1665年当上了律师，而且还整理了费马的数学论著。如果不是费马长子积极出版费马的数学论著，很难说，费马能对数学产生如此重大的影响，因为大部分论文都是在费马死后，由其长子负责发表的。从这个意义上说，萨摩尔也称得上是费马事业上的继承人。对费马来说，真正的事业是学术，尤其是数学。费马通晓法语、意大利语、西班牙语、拉丁语和希腊语；而且还颇有研究。语言方面的博学给费马的数学研究提供了语言工具和便利，使他有能力学习和了解阿拉伯和意大利的代数以及古希腊的数学。如此这些，可能为费马在数学上的造诣莫定了良好基础。在数学上，费马不仅可以在数学王国里自由驰骋，而且还可以站在数学天地之外鸟瞰数学。这也不能绝对归于他的数学天赋，与他的博学多才多少也是有关系的。费马生性内向，谦抑好静。不善推销自己，不善展示自我。因此他生前极少发表自己的论著，连一部完整的著作也没有出版。他发表的一些文章，也总是隐姓埋名。《数学论集》(Varia OPera mathematica)还是费马去世后，由其长子将其笔记、批注及书信整理成书而出版的。我们现在早就认识到时间性对于科学的重要，即使在l7世纪，这个问题也是突出的。费马的数学研究成果不爱及时发表，得不到传播和发展，并不是个人的名誉损失，而是影响了那个时代的数学前进的步伐。费马一生身体健康，只是在1652年的瘟疫中险些丧命。

1665年元旦一过，费马开始感到身体有变，因此于1月l0日停职。第三天，费马去世。费马被安葬在卡斯特雷斯(Castres)公墓。后来，改葬在图卢兹的家族墓地中。费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌6他是解析几何的发明者之一；微积分的成就仅次于牛顿、莱布尼茨(G"W"Leibniz)的缔造者，概率论的主要创始人，以及独承17世纪数论天地的人。费马对物理学也有重要贡献。一代数学大才，费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。

17世纪伊始，就预示了一个颇为壮观的数学前景。而事实上，这个世纪也正是数学史上一个辉煌的时代。几何学首先成了这一时代最引入注目的引玉之明珠。由于几何学的新方法——代数方法在几何学上的应用，直接导致了解析几何的诞生；射影几何作为一种崭新的方法开辟了新的领域；由古代的求积问题导致的极微分割方法引入几何学，使几何学产生了新的研究方向，并最终促进了微积分的发明。几何学的重新崛起是与一代勤于思考、富于创造的数学家是分不开的。费马就是其中的一位。(一)对解析几何的贡献费马独立于笛卡儿(R．Descartes)发现了解析几何的基本原理。

1629年以前，费马便着手重写公元前3世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯(APollonius)失传的《平面轨迹》。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学、尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有8页的论文《平面与立体轨迹引论》(Introdnction anx LieuxPLanes es Selides，“立体轨迹”指不能用尺规作出的曲线，和现代的用法不同)。费马于1636年与大数学家梅森(M．Mersenne)、罗贝瓦尔(G．P．RobervaI)开始通信，对自己的数学工作略有言及。但是《平面与立体轨迹引论》的出版是在费马去世14年以后的事，因而1679年以前，很少有人了解到费马的工作。而费马的工作却是开创性的。《平面与立体轨迹引论》中，道出了费马的发现。他指出：“两个未知量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。”费马的发现比笛卡尔发现解析几何基本原理(1637)还早7年。费马对一般直线和圆的方程、以及关于双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。笛卡儿是从一个轨迹来寻找它的方程的，而费马则是从方程出发来研究轨迹的。这正是解析几何的基本原则的两个相反的方面。在1643年的一封信里，费马也谈到了他的解析几何思想。他谈到了柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面。指出：含有三个未知量的方程表示一个曲面，并对此做了进一步地研究。(二)对微积分的贡献16、17世纪，微积分是继解析几何之后的最璀璨的明珠。人所共知，牛顿和莱布尼茨是微积分的缔造者，并且在其之前，至少有数十位科学家为微积分的发明做了奠基性的工作。但在诸多先驱者当中，费马仍然值得一提，主要原因是他为微积分概念的引出提供了与现代形式最接近的启示，以致于在微积分领域，在牛顿和莱布尼茨之后再加上费马作为创立者，也会得到数学界的认可。曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分的起源之一。这项工作较为古老，最早可追溯到古希腊时期。阿基米德(Archimedes)为求出一条曲线所包任意图形的面积，曾借助于穷竭法。由于穷竭法繁琐笨拙，后来渐渐被人遗忘、直到16世纪才又被重视。由于开普勒在探索行星运动规律时，遇到了如何确定椭圆形面积和椭圆弧长的问题，无穷大和无穷小的概念被引入并代替了繁琐的穷竭法。尽管这种方法并不完善，但却为自卡瓦列里(B．cavalieri)到费马以来的数学家开辟厂一个十分广阔的思考空间。费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。(三)对概率论的贡献早在古希腊时期，偶然性与必然性及其关系问题便引起了众多哲学家的兴趣与争论，但是对其有数学的描述和处理却是15世纪以后的事。l6世纪早期，意大利出现了卡尔达诺(G．cardano)等数学家研究骰子中的博弈机会，在博弈的点中探求赌金的划分问题。到了17世纪，法国的帕斯卡(B．Psscal)和费马研究了意大利的帕乔里(L.Pacioli)的著作《摘要》，建立了通信联系，从而建立了概率学的基础。费马考虑到4次赌博可能的结局有2"2"2"2＝16种，除了一种结局即4次赌博都让对手赢。其余情况都是第一个赌徒获胜。费马此时还没有使用概率一词，但他却得出了使第一个赌徒赢得概率是l 5／16，即有利情形数与所有可能情形数的比。在此很自然地假定所有的情形都为可能。这个条件在组合问题中一般均能满足，例如纸牌游戏，掷银子和从罐子里模球。其实，这项研究为概率的数学模型一概率空间的抽象奠定了博弈基础、尽管这种总结是到了1933年才由柯尔莫戈罗夫作出的。费马和怕斯卡在相互通信中以及著作中建立了概率论的基本原则——数学期望的概念。这是从点的数学问题开始的：在一个被假定有同等技巧的博弈者之间，在一个中断的博弈中，如何确定赌金的划分，已知两个博弈者在中断时的得分及在博弈中获胜所需要的分数。费马这样做出了讨论：一个博弈者A需要4分获胜，博弈者B需要3分获胜的情况，这是费马对此种特殊情况的解。因为显然最多4次就能决定胜负。一般概率空间的概念，是人们对于概念的直观想法的彻底公理化。从纯数学观点看，有限概率空间似乎显得平淡无奇。但一旦引入了随机变量和数学期望时，它们就成为神奇的世界了。费马的贡献便在于此。(四)对数论的贡献17世纪初，欧洲流传着公元3世纪古希腊数学家丢番图(Diophantus)所写的《算术》一书。l621年费马在巴黎买到此书，他利用业余时间对书中的不定方程进行了深入研究。费马将不定方程的研究限制在整数范围内，从而开始了数论这门数学分支。费马在数论领域中的成果是巨大的，其中主要有： (1)全部素数可分为4n+1和4n+3两种形式。

（2）形如4n+1的素数能够，而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。

（3）没有一个形如4n+3的素数，能表示为两个平方数之和。

（4）形如4n+1的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；4n+1的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边；类似地，4n+1的m次方是且只能是m个这种直角三角形的斜边。

（5）边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。

（6）4n+1形的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和；5次和6次方都只能以3种方式表达为两个平方数之和，以此类推，直至无穷。（五）对光学的贡献费马在光学中突出的贡献是提出最小作用原理，也叫最短时间作用原理。这个原理的提出源远流长。早在古希腊时期，欧几里得就提出了光的直线传播定律相反射定律。后由海伦揭示了这两个定律的理论实质——光线取最短路径。经过若干年后，这个定律逐渐被扩展成自然法则，并进而成为一种哲学观念。—个更为一般的“大自然以最短捷的可能途径行动”的结论最终得出来，并影响了费马。费马的高明之处则在于变这种的哲学的观念为科学理论。费马同时讨论了光在逐点变化的介质中行径时，其路径取极小的曲线的情形。并用最小作用原理解释了一些问题。这给许多数学家以很大的鼓舞。尤其是欧拉(L．Euler)，竞用变分法技巧把这个原理用于求函数的极值。这直接导致了拉格朗日的成就，给出了最小作用原理的具体形式：对一个质点而言，其质量、速度和两个固定点之间的距离的乘积之积分是一个极大值和极小值；即对该质点所取的实际路径来说，必须是极大或极小。