出境展览应由文化和旅游部门审核登记。

文化和旅游部门是国家文化和旅游行政管理的主管部门，具有批准、管理和监督文化和旅游活动的职责。因此，对于出境展览的审核登记，文化和旅游部门可以对展览的内容、品质和真实性进行有效的监管和把控，确保展览的合法合规，并保护国家和公众的文化和旅游权益。