随父母移居香港的条件包括：父母必须持有有效的香港居民身份证或有效签证，满足香港移民局的要求；父母需要有稳定的工作或经济来源，以确保在香港的生活和生计；父母需要提供合适的住房，符合香港的居住标准；父母需要遵守香港的法律和规定，包括税务和社会福利方面的义务；父母需要提供子女的教育和医疗保健等基本需求。此外，移居香港还需要满足其他可能的要求，具体取决于个人情况和移民政策的变化。

根据香港驻外使领馆的相关要求，投靠香港父母的申请条件需要符合一定的规定。: 1. 申请者需为未满18周岁的子女，未婚且在香港父母的监护下。

2. 需要提供符合相关要求的证明材料，如出生证明、父母的身份证件、在香港的住址证明、在香港教育机构的入学证明、未成年人离境许可证明等。

3. 同时还需要经过相关部门的审批和签证等手续。: 需要注意的是，在申请投靠香港父母的过程中，应当遵守相关法律法规，如补办相关证件、缴纳相关费用等，以保证申请的顺利进行。此外，为了保障未成年子女的安全和权益，应当选择合适的监护人，定期与监护人保持联系，及时处理相关事宜。