x和y相互独立说明两个元素不相关。一般都是x和y会代表函数里的两个未知数，数学里两个函数会有线性相关，正相关反相关等等，这种相关都是可以通过函数公示表示出现，所以就是相关的两个未知数，而相互独立就表示这两个构成不了函数关系

首先两个随机变量X与Y独立的直观含义就是X的取值不影响Y的取值，反之也是这样。即X和Y是离散随机变量。

简单的说，就是不管X取什么值，Y取值还是按照自己的规律来，比如当X=1时或X=2时，或其它……，Y的取值规律不变，这句话用数学描述（这很重要，把语言转换成数学符号，是学数学最关键的一步）：

P{Y≤y｜X≤x}=P{Y≤y}

这一步能理解，那下面肯定没问题了

由条件概率定义有

P{Y≤y|X≤x}=P{Y≤y X≤x}/P{X≤x}=P{Y≤y}

把最后等式左边分母乘到右边，即有

P{Y≤y，X≤x}=P{Y≤y}P{X≤x}

上等式的右边就是联合分布，右边就是边缘分布函数，再求导就得到题主的结论。

相互独立的充要条件是协方差为0,同时相关系数为0。根据充分条件和必要条件的定义：若条件要求包含在“协方差为0,同时相关系数为0”内，则其为相互独立的必要条件；

若“协方差为0,同时相关系数为0”包含在条件要求内，则其为相互独立的充分条件。否则，为既不充分又不必要条件。 若随机变量X与Y的联合分布是二维正态分布，则X与Y独立的充要条件是X与Y不相关。

对任意分布,若随机变量X与Y独立, 则X与Y不相关，即相关系数ρ=0.反之不真. 但当随机变量X与Y的联合分布是二维正态分布时,若X与Y不相关, 即相关系数ρ=0, 可以得到联合分布密度函数是两个边缘密度函数的乘积，所以X与Y独立。 简单地说，随机变量X,Y不相关不能保证X,Y相互独立，反之则可以。

这是离散随机变量。x和y是独立的。

用定义证明。p（x=0，y=-1）=p（x=0）p（y=-1），以此类推即可。

事实上，只要联合分布律每一行或者每一列成比例，可以直接看出x和y是独立的