多伦多大学商业数学方向有一门微积分与证明课程，以下直接用课程代码MAT137Y1表述。MAT137Y1这门课程有很多基础知识和技能需要掌握，为了帮助同学们更好地掌握这门课程，多伦多大学的在线课程为学生提供了丰富的线上作业以及各类测验和视频练习材料等。下面我们主要分析两个经典题目和同学们在学习中比较容易出错的地方。

一、MAT137Y1例题

1.问题一：

0·∞是一种极限不确定的形式。这意味着，当计算一个极限时，如果我们遇到0·∞，我们不能仅基于这个信息得出极限的值。证明该限制的实际值可以是任何实数。你可以在某个点(在实数上)使用限制，或在∞或−∞使用边限制。

2.问题二：

设a

这是定义良好的。换句话说，这个集合必须有一个上值，你需要证明它。

二、题目解析

1.问题一答案：

令c∈R，我们构造一个具有实际极限c的0·∞的极限不确定形式的例子。

设f是由f (x) = x定义的函数。请注意，limx→∞f (x) =∞。

设g是由g (x) = c /x定义的函数。请注意，limx→∞g (x) = 0.

因此，极限值limx→∞g(x)f(x)是0·∞型的一种不确定形式。此外limx→∞g(x)f(x)=limx→∞h c x·x i=limx→∞[c/x·x]=linx→∞c=c

请注意，c是一个任意的实数。这证明了0·∞的极限不确定形式可以是任何实数。

2.问题二答案：

定义集合：A = {Lp (f) | p is a partition of [a,b]} .

我们将证明A是有界的，并且是非空的。然后，根据最小上限的性质，它必须有一个上值。

集A不是空的，因为至少存在一个分区。例如，让我们取平凡的分区Q = {a，b}。然后是LQ (f)∈A，集合A至少有一个元素，所以它不是空的。为了显示A在上面是有界的，让我们固定一个分区。例如，让我们取平凡的分区Q = {a，b}。然后，通过上和和上和的性质我们知道∀ partitions p of [a,b],Lp (f) ≤ UQ(f)

因此，A中的每个数字都小于或等于UQ (f)，UQ (f)是A的上界，而a在上有界。

注意：当证明A在上有界时，重要的是约束所有的下和与相同的上和。你需要找到一个数字x，这样所有分区p的Lp (f)≤x;数字x不能依赖于p。特别是如果你对所有分区p，Lp (f)≤Up (f)写它，你就没有找到A的上界。

三、易错点分析

1.问题一易错点：

题目要求你证明0·∞类型的极限不确定形式可以是任何实数，而不仅仅是证明它可以是某个数。

有些同学可能试图证明泛型函数f和g，而不是建立特定的例子。这在这种情况下是没有意义的。

2.问题二易错点：

要使用LUB原理，你需要证明一个集合是有界的和非空的。

为了证明下和的集合是有界的，你需要找一个数x来做∀ partitions p,Lp (f) ≤ x

数字x不能依赖于p。对于所有分区，它必须是相同的数字。如果你写了类似∀ partitions p,Lp (f) ≤ Up (f)，那么你还没有找到一个上限。

有些同学假设I b a (f)存在，然后继续“证明”它等于较低和集合的上值。这不是题目问你的，而且也毫无意义!如果你假设I b a (f)存在，那么根据定义，它是较低和集合的上值：没有什么可证明的!

有同学可能假定f不是可积的(而且，它与问题无关)，也是易错点之一。

以上是微积分与证明课程的两个例题分析，同学们在课程学习中遇到难题，欢迎咨询留求艺的专业老师寻求更完整且更专业的解答。