同学们，学长实在不知道应该说什么了，天气实在是太热了，这么热的天气学习数学可能会很困难，因为夏天味道正浓，同学们似乎很难静下心来仔细的研究那些关于数字的理论知识。

学姐是能理解同学们的心情的，没有办法，该学的知识还是要学的，考试不会受天气影响而延缓到来的时间，为了不挂科，同学们在课堂上一定要用心领会老师讲的知识点，记录好笔记和课件的学习，早日完成学业。

那么说了那么多没用的东西，接下来就由学姐拿出早就整理好的数学中微积分的理论知识来给大家简单的讲解一下，关于数学课业中的知识。

双积分面积

体积或表面质量等于每个点的面积之和 k,ΔAk 乘以每个点的高度或表面质量密度，由函数描述，f(x,y)。

使用这个符号来寻找面积，我们设置f(x,y)(高度或表面质量密度)等于1。

体积=面积×高度表面质量=面积×表面质量密度

如果高度= 1，体积=面积×1如果表面质量= 1，表面质量=面积×1

所以，体积=面积所以，表面质量=面积

因此，我们简单地将所有ΔAk值，允许我们找到边界的面积。为了计算面积，我们将封闭区域内无限小矩形的面积相加R。当分割中的长度和宽度接近零时，我们找到和的极限。

因此，封闭的有界平面区域R的面积定义为

平均值

利用二重积分来求体积和面积，我们可以求出函数的平均值 f(x,y)。

极坐标二重积分公式

到目前为止，我们遇到的许多二重积分都涉及到圆，或者至少是表达式 x2+y2。当我们看到这些表达时，铃应该响了，我们应该喊:“我们不能用极坐标吗?”答案是“是”，但要小心。回想一下，当我们在单变量积分中改变变量时，比如 u=2x，我们需要计算出拉伸因子 du=2dx。这种想法类似于两个变量的积分。当我们换到极坐标时，也会有一个拉伸因子。这是显而易见的，因为“极地区域”的面积并不像人们预期的那样。图片如下。

正如在其他关于极坐标的章节中所观察到的，通过将xyz空间上的函数转换为不同的坐标系，可以更容易地对它们进行积分。这些代换可以使被积函数和/或积分极限更容易处理，就像“U”代换对单次积分所做的那样。在本节中，我们将把函数从x-y-z笛卡尔坐标平面转换到u-v-w笛卡尔坐标平面，以使一些积分更容易求解。

这个翻译的一个关键部分叫做雅可比行列式，或者简称为雅可比,它测量从一个坐标系转换到另一个坐标系时某一点的体积变化量。

需要注意的是，虽然我们正在改变绘制函数图形的坐标系，但多重积分背后的理论并没有改变。积分的极限仍然会在曲线下创建定义域，积分会帮助我们找到原始函数和定义域创建的图形的体积。

理论探讨与描述性阐述

对于任何给定的函数 f(x,y)，我们可以将x和y定义为其他变量的函数 g(u,v)。为此，我们首先发现 u 和 v 作为...的函数 x 和 y 这将允许更容易的被积函数。那就解决 x 和 y 为了翻译该函数 x=g(u,v) and y=h(u,v)。这将区域从x-y平面中的R转换为u-v平面中的D。

记住:

所以我们必须找到 dA ：

dA 更改自 dxdy 到 |J(u,v)| dudv。u( Δu )和v的变化( Δv )创建小面积的平行四边形 ΔA 或者dA。我们可以通过取创建平行四边形的两个向量的叉积来找到每个平行四边形的面积( Δu and Δv ).

上面这些都是学姐为大家整理总结的数学微积分学术知识，大家感觉怎么样，有没有学习到有用的东西呢?就算没有学姐也不会感到悲伤和沮丧，因为学姐不是专业老师嘛，所以很正常，专业知识的深入研究同学们可以找加拿大留学生辅导老师来进行，老师可是在海外有多年教学经验的呦，比学姐厉害了不知道多少倍，完全不是一个级别的存在，那么今天学姐就先溜啦，同学们拜拜~