Hello~大家好，今天学姐为留学生分享应用数学微分方程基础相关的知识概述，学姐整理了非常详细的流程细节可以参考，希望可以为广大留学生提供帮助，如果有同学希望可以得到更加专业和细致化的辅导，可以随时与我们的客服联系。

学习目标

确定微分方程的阶。

解释微分方程的解是什么意思。

区分微分方程的通解和特解。

确定一个初始值问题。

确定给定的函数是微分方程的解还是初值问题。

微积分是变化的数学，变化率用导数表示。因此，使用微积分最常见的方法之一是建立一个包含未知函数的方程 y=f(x) 及其导数，称为微分方程。求解这样的方程通常提供关于量如何变化的信息，并且经常提供关于变化如何以及为什么发生的洞察。

求解微分方程的技术可以采取许多不同的形式，包括直接求解、使用图形或计算机计算。我们在本章中介绍了主要思想，并在课程的后面更详细地描述了它们。在本节中，我们研究什么是微分方程，如何验证它们的解，一些用于求解它们的方法，以及一些常见和有用的方程的例子。

一般微分方程

考虑一下等式 y'=3x2,这是一个微分方程的例子，因为它包含一个导数。变量之间是有关系的 x 和 y:y 是的未知函数 x。此外，方程的左手边是 y。因此我们可以这样解释这个方程:从某个函数开始 y=f(x) 取它的导数。答案必须等于 3x2。什么函数的导数等于 3x2 ?其中一个功能是 y=x3，所以这个函数被认为是解决办法微分方程。

定义:微分方程

A微分方程是一个包含未知函数的方程 y=f(x) 及其一种或多种衍生物。微分方程的解是一个函数 y=f(x) 满足微分方程，当 f 它的导数被代入方程。

微分方程及其解的例子：

y′=2x y=x2

y′+3y=6x+11 y=e−3x+2x+3

y′′−3y′+2y=24e−2x y=3ex−4e2x+2e−2x

请注意，微分方程的解不一定是唯一的，主要是因为常数的导数为零。比如，y=x2+4 也是表中第一个微分方程的解 8.1.1。我们将在本节稍后部分回到这个想法。现在，让我们集中讨论函数是微分方程的解意味着什么。

验证微分方程的解

验证该功能 y=e−3x+2x+3 是微分方程的解 y'+3y=6x+11。

解决办法

为了验证解决方案，我们首先计算 y' 对导数使用链式法则。这给 y'=−3e−3x+2。接下来我们替换 y 和 y' 在微分方程的左边:

(−3e−2x+2)+3(e−2x+2x+3).

得到的表达式可以通过首先分布以消除括号来简化，给出

−3e−2x+2+3e−2x+6x+9.

将相似的术语组合在一起就产生了这个表达式 6x+11，等于微分方程的右边。这一结果证明 y=e−3x+2x+3 是微分方程的解。

确定微分方程的阶

方程中的最高导数是 y',

以下每个微分方程的阶数是多少?

a.y'−4y=x2−3x+4

b.x2y′′′−3xy′′+xy'−3y=sinx

c.4xy(4)−6x2y′′+12x4y=x3−3x2+4x−12

解决办法

a.方程中的最高导数是 y'，所以顺序是 1。

b.方程中的最高导数是 y′′′，所以顺序是 3。

c.方程中的最高导数是 y(4)，所以顺序是 4

寻找特定的解决方案。

找到微分方程的特殊解 y'=2x 穿过点 (2,7)。

解决办法

表单的任何功能 y=x2+C 是这个微分方程的解。确定的价值 C，我们替换这些值 x=2 和 y=7 进入这个方程并求解 C ：

y=x2+C7=22+C=4+CC=3.

因此，通过该点的特定解决方案 (2,7) 存在 y=x2+3。

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