微分方程建模辅导机构有那些?
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滑铁卢大学的微分方程导论这门课程,秋季期末考试日期是2023年12月15号。虽然现在课程还没完全结束,想要在考试中取得好成绩的同学,已经可以开始着手备考咯~
滑铁卢大学的微分方程导论课程中,最主要的内容是微分方程导论中的导致微分返程的物理系统(比如机械震动、群体动力学和混合过程)、量纲分析和无量纲变量、解线性微分方程:一、二阶标量方程和一阶向量方程、解微分方程的拉普拉斯变换方法等。
下面我们给大家分享一些期末考试复习题,附有答案和解析,需要的同学可以先练习再总结噢~
1.考虑一个简谐振动系统,其运动方程为 m(d2x/dt2)+kx=0,其中m是质量,k是弹性系数。求解该微分方程,得到系统的解析解。
答案解析:
该微分方程是一个二阶线性常微分方程,可以设解为x(t) = Acos(ωt + Φ),其中A是振幅,ω是角频率,Φ是相位。将解代入运动方程,可以得到A和ω的关系式,进一步求解得到解析解。
将x(t) = Acos(ωt + Φ)代入运动方程,得到-mω2Acos(ωt + Φ) + kAcos(ωt + Φ) = 0。根据余弦函数的性质,可以得到ω=√(k/m)。因此,系统的解析解为x(t) = Acos(√(k/m)t+Φ)。
2.考虑一个混合过程,其中物质从一个容器中流出,并以一定速率被另一个容器中的新鲜物质替代。假设物质的流出速率与容器中物质的浓度成正比。建立一个一阶线性微分方程来描述该混合过程,并求解该微分方程。
答案解析:
设物质的浓度为C(t),流出速率为kC(t),其中k是比例常数。根据题意,可以建立以下微分方程:dC/dt=-kC。
将微分方程dC/dt=-kC进行分离变量并积分,得到∫1/CdC=-∫kdt。解得ln|C|=-kt+C1,其中 C1是积分常数。进一步求解得到解析解为C(t) = C0ekt,其中C0=eC1。
3.考虑一个电路中的电感和电阻,其中电感的电流满足微分方程L(di/dt)+Ri=V(t),其中 L是电感的感应系数,R是电阻的电阻系数,V(t)是外加电压。使用拉普拉斯变换方法求解该微分方程。
答案解析:
对微分方程两边同时进行拉普拉斯变换,得到Lsl(s)+Rl(s)=V(s),其中l(s)和V(s)分别是电流和电压的拉普拉斯变换。解得l(s)=V(s)/Ls+R。
将拉普拉斯变换后的表达式反变换回时域,得到电流的解析解为I(t)=L-1[V(s)/Ls+R]。
以上就是滑铁卢大学微分方程导论期末考试相关题目分享。备考时有任何不懂的问题,欢迎各位同学联系留求艺的一对一考前冲刺补习老师!
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