学习泛函分析需要怎样的数学基础呀?

一般大学的高数和线代恐怕还不够，起码要升级到数学系的数分和高代，如果再学点基本的点集拓扑和实变函数就更好了。如果说数学分析实变函数是泛函的“形”，那么高等代数则是泛函的“魂”。泛函分析将数学中的两大结构“代数结构”和“拓扑结构”联系了起来，一方面将有限维的高等代数扩展到了无穷多维，另一方面又是利用代数学的技巧来处理分析学（数学分析，微分方程等）的问题，因此泛函可以看作一门之前所学课程的集大成者（数分、高代、常微分方程、实变函数等），从更高的观点来理解之前所学的学科。

如果以后打算继续深造的话基本上就是控制理论和模式识别两个方向。对于控制我只知晓皮毛，但据我浅薄的了解泛函分析已经成了现代控制理论非常重要的基石，掌握得多好都不过分。模式识别（也就是目前大火的人工智能、机器学习方向）其实用不到太多的泛函分析（做理论的当我没说。。Vapink 的上古神书 Statistical Learning Theory随便翻一翻就知道了），更多的还是大多数人所说的数学分析、矩阵论、概率统计、优化等。当然我认为“函数空间”这一观点还是非常重要的，将不可数无穷维的函数也看作空间中的一个点，例如数据挖掘比赛中大量使用的GBDT（Gradient Boosting Decision Tree）就用到了函数空间的思想，虽然它只用n个样本来近似这个函数。