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微分方程基础学习目标

确定微分方程的阶。

解释微分方程的解是什么意思。

区分微分方程的通解和特解。

确定一个初始值问题。

确定给定的函数是微分方程的解还是初值问题。

一般微分方程

考虑一下等式 y'=3x2,这是一个微分方程的例子，因为它包含一个导数。变量之间是有关系的 x 和 y:y 是的未知函数 x。此外，方程的左手边是 y。因此我们可以这样解释这个方程:从某个函数开始 y=f(x) 取它的导数。答案必须等于 3x2。什么函数的导数等于 3x2 ?其中一个功能是 y=x3，所以这个函数被认为是解决办法微分方程。

等式

y′=2x

y′+3y=6x+11

y′′−3y′+2y=24e−2x

解决方法

y=x2

y=e−3x+2x+3

y=3ex−4e2x+2e−2x

验证微分方程的解

验证该功能 y=e−3x+2x+3 是微分方程的解 y'+3y=6x+11。

解决办法

为了验证解决方案，我们首先计算 y' 对导数使用链式法则。这给 y'=−3e−3x+2。接下来我们替换 y 和 y' 在微分方程的左边:

(−3e−2x+2)+3(e−2x+2x+3).

得到的表达式可以通过首先分布以消除括号来简化，给出

−3e−2x+2+3e−2x+6x+9.

将相似的术语组合在一起就产生了这个表达式 6x+11，等于微分方程的右边。这一结果证明 y=e−3x+2x+3 是微分方程的解。

确定微分方程的阶

方程中的最高导数是 y',

以下每个微分方程的阶数是多少?

A.y'−4y=x2−3x+4

B.x2y′′′−3xy′′+xy'−3y=sinx

C.4xy(4)−6x2y′′+12x4y=x3−3x2+4x−12

解决办法

A.方程中的最高导数是 y'，所以顺序是 1。

B.方程中的最高导数是 y′′′，所以顺序是 3。

C.方程中的最高导数是 y(4)，所以顺序是 4。

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