复数是IB数学HL中一个非常重要的考点，也是连接数、向量和平面的一个非常重要的桥梁，后面承接着复分析。在如此广袤的领域面前，如牛顿所言，“我们都只是在在海边玩耍的小孩”，在这里我尝试以IB数学的考纲为基准，从历史的角度出发，去拾取些许前人的“贝壳”，讲述复数的概念和由来。

“Nine Zulu Queen Ruled China“，这样一句话看似毫无意义，但是首字母可以帮助我们记住五个数集N、Z、Q、R、C（在数学中会用镂空字母表示）。

这五个数集就像是层层嵌套的俄罗斯套娃，最里层是自然数N（natural number），是我们通常用来计数的数，但是自然数对减法是不封闭的（也就是说两个自然数相减我们不一定会得到另一个自然数，比如7减10）。

于是就有了零和负数，得到了我们的第二个“套娃”整数Z(来自德语“数”的单词“Zahl”)，同样的道理，整数在除法中不封闭。

为了得到除法中封闭的数系，我们得到了有理数Q(来自英语单词“商”的单词“quotient”)，有理数可以简单理解成是那些可以表示为两个整数的商的数，也就是所有的整数和分数。

毕达哥拉斯一度认为，“世界上只存在整数和分数"。但是他的学生希帕索斯却发现边长为”1“的正方形，它的对角线之长不能表示成两个整数之商，无理数的概念就此诞生。我们就需要另外一个”套娃“把无理数和有理数都包含到一起，也就是实数系R（Real number）。

在有理数中，加减乘除都是封闭的，但是开方却不是，实数解决了这个问题，但是却仅限于非负数，也就是说负数是没有平方根的。为了打破这个限制，就需要加入最后一个”套娃“，也就是复数系C（Complex number）。

要理解复数，先得理解虚数。我们把-1的平方根记作i，那么所有的负实数的平方根就构成了所有的纯虚数，比如。复数就是形如a+bi的数，它由两个部分组成，纯实数部分a和纯虚数部分bi，我们把a叫做实部，b叫做虚部。

所以我们在做运算的时候，也需要实部和虚部分开考虑，运算的过程更类似于一次二项式的加减乘除，只是需要注意。我们可以得到复数的四则运算规则如下：

在除法运算中，需要借助共轭复数(complex conjugate)。我们把两个虚部符号相反的复数叫做共轭复数，如c+di和c-di。共轭复数在复数的运算中十分重要，通过共轭复数我们可以把复数的运算转为实数。这是因为两个共轭复数做加法会得到一个纯实数2c，做乘法(c+di)(c-di)也会得到一个纯实数。

我们知道，所有的实数都可以用数轴上的表示。复数是个二元数，所以所有的复数都可以用平面上的点来表示。在下一篇中我会详细介绍复平面和复数的另外两种形式。

到此为止，我们就构建出了”数“的整个大厦。但是复数并不是我们对”数“探究的终点，在这之后还有“超复数”——哈密顿在19世纪发明了四元数的概念，把数的概念从二维又拓展到了四维。

从整数到实数，再到复数、四元数，数的概念从具体生活中慢慢脱离出来，进入抽象与思维的疆域。这无疑象征着人们对未知世界的开拓与向往，我想这也就是我们学习数学的意义所在。

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