学习VCE课程的小伙伴会了解，VCE数学有好几种不同的科目，包括普通数学、数学方法、专业数学等等，每门课程的难度也有所不同，今天留求艺留学主要为大家介绍一下难度比较高的VCE专业数学，来看看这门课程主要学什么内容！

VCE专业数学课程共有四个单元

第一单元：

研究领域1：代数、数和结构

1、证明和数字

●自然数、N、整数、Z、有理数、Q、实数、R和复数、C的数字系统及其基本性质和结构

●集合符号和运算，包括元素、交集、并集、补子集和幂集素数，算术基本定理，以及有无限多个素数的证明

●有理数的分数和十进制形式之间的转换

●介绍证明原理，包括命题和量词，例子和反例子，直接证明，反证法证明，以及使用反命题和数学归纳法的证明

●简单的证明，例如可整除性、序列和级数、不等式和无理性。

2、图论

●无向图的顶点和边，包括多条边和环，以及它们用列表、图表和邻接矩阵的表示

●从分子结构、电路、社会网络、公用事业连接等一系列上下文中选择图形示例，并使用它们来讨论图论中的问题类型，包括存在问题、构造问题、计数问题和优化问题

●顶点的度数以及所有顶点度数之和等于边数两倍的结果(握手引理)

●简单图，同构，子图，连通性，完全图和图的补图

●二部图、树和正则图(包括柏拉图图)平面图以及相关的证明和应用。

●n顶点简单图是树的等价条件

●轨迹和回路，欧拉回路和欧拉轨迹，哈密顿回路和路径，以及哥尼斯堡桥问题。

3、逻辑和算法

●命题、连接词、真值、真值表和卡诺图

●布尔代数

●二进制数字系统

●重言式、有效性和证明模式以及它们在自然语言证明中的应用，布尔代数、集合代数和命题代数的规律和性质

●逻辑门和电路，以及电路的简化

●算法的定义和描述算法所需的基本结构:序列、决策(选择、选择、if...然后...块)和重复(迭代和循环)

●使用伪代码构建和实现包含基本结构的基本算法。

研究领域2：离散数学

1、序列与级数

●数列、等差数列、几何数列及其部分和的定义

●几何数列中项的极限行为以及对公比值的依赖

●由递归生成的序列

●解常系数形式的一阶线性递归关系及其在金融问题和人口建模中的应用。

2、组合

●鸽子洞原理及其在解决问题和证明结果中的应用

●两集并集和三集并集的包容-排斥原则

●排列和组合及其在解决涉及有或没有重复元素的安排和选择的问题中的应用

●简单组合恒等式的推导和应用。

3、矩阵

●矩阵符号，维度和使用矩阵来表示数据

●矩阵运算和代数

●行列式和矩阵方程，以及简单的应用。

第二单元

研究领域1：数据分析、概率和统计

1、模拟，抽样和抽样分布

离散随机变量和的分布

●离散随机变量X的均值、方差和标准差

●同分布独立离散随机变量的和的分布

●2X的分布比较，其中X是一个离散随机变量和两个独立的离散随机变量的和，每个变量的分布都与X相同。

模拟

●随机实验、事件和事件空间

●利用模拟生成随机样本。

抽样分布

●总体参数与样本统计量的区别以及样本统计量的使用

●(样本均值)作为相关总体参数(均值)的估计值

●抽样分布的概念

●根据经验考虑的样本均值分布，包括比较来自同一总体的不同大小样本在中心和分布方面的分布

●通过点图和其他显示显示样本均值的变化，并考虑这些分布的中心和扩散

●考虑样本均值分布的均值和标准差以及取大样本的影响。

研究领域2：空间和测量

1、三角法

●弧度、弧长、扇形和扇形

●适用于二维和三维情况的正弦法则和余弦法则，包括涉及平面之间角度的问题

●正弦、余弦和正切的复角和倍角公式及恒等式:sec2(x) =1 + tan2(x)和cosec2(x) =1 +cot2(x)

●asin (x) + bcos (x)与r sin (x a)或rcos (x a)之间的恒等式的证明和应用，其中a在第一象限中，正弦和余弦的乘积表示为和与差，正弦和余弦的加法和差表示为乘积。

2、转换

●平面上的点、坐标及其表示为2 × 1矩阵(列向量)

●平面T(x，y) → (x + a，y + b)的平移

●平面T(x，y) → (ax + by，cx + dy)和T(5)=(a ^ 2)(y)的线性变换

●平面到自身的旋转、围绕原点的旋转和穿过原点的直线上的反射、平移的效果、线性变换及其逆变换，以及这些变换在平面子集上的合成，例如点、线、形状以及函数和关系的图形

●变换下性质的不变性，以及变换矩阵的行列式与线性变换对平面有界区域面积的影响之间的关系。

3、平面中的向量

●平面向量表示为有向线段、平面向量的大小和方向以及单位向量。

●加法、减法(三角形和/或平行四边形法则)、向量的标量倍数和平面向量的线性组合的几何表示

●两个平面向量的标量(点)积，垂直和平行向量，一个向量到另一个向量的投影，以及两个向量之间的角度用向量证明几何

●矢量在位移、速度、合成速度、相对速度、静力学和恒力作用下的运动中的应用。

研究领域3：代数、数和结构

1、复数

●复数的定义和性质，C，算术，复数的模数，以及复数在阿甘图中的表示C上一元二次方程(实系数)的通解和共轭根

●直线、射线、圆和椭圆

●使用上述复数的模和非零复数的自变量的组合来证明基本恒等式的复平面中定义的区域

●复数的笛卡尔形式和极坐标形式之间的转换

●极坐标形式的复数的乘、除和幂及其几何解释。

研究领域4：函数、关系和图形

●多项式系数相等的恒等式，有理函数及其分解成带分母的部分分式，分母表示为线性和不可约二次项的乘积。

●简单倒数函数的图形，包括倒数圆函数余切、正割和余切的图形，以及它们的简单变换

●主域上的正弦、余弦和正切的受限圆函数的图形，以及它们各自的反函数sin-1、cos-1和tan-1(学生应该熟悉替代符号，arcsin、arccos和arctan)，以及这些图形的简单变换

●直线、抛物线、圆、椭圆和双曲线及其笛卡儿、极坐标和参数形式和图形平面上的轨迹

●定义和构造绝对值函数、其图形及其图形的简单变换。

第三&第四单元

研究领域1：离散数学

1、逻辑和证明

●猜想——做出一个有待证明或反驳的陈述

●蕴涵、等价和如果且仅如果陈述(必要和充分条件)自然演绎和证明技术

●使用一系列直接蕴涵的直接证明、案例证明、矛盾证明和反命题证明

●量词“对于一切”和“存在”，例子和反例。

●用数学归纳法证明

研究领域2：函数、关系和图形

●有理函数和低次有理函数的部分分式和表示

●低次有理函数的图形，它们的渐近行为，以及驻点和拐点的性质和位置

●简单商函数的图形，它们的渐近行为，以及驻点和拐点的性质和位置。

研究领域3：代数、数和结构

1、复数

●德莫维尔定理、整数幂的证明、极坐标形式的复数的幂和根，以及它们的几何表示和解释

●单位和其他复数的n次根及其在复平面中的位置

●多项式的C上的因子；以及代数基本定理的介绍，包括它在C(例如z8+1，z2 -i或z3-(2-i)z2+ z-2+ i)上单变量多项式函数的因式分解中的应用。

●通过完成平方，使用二次因式分解和共轭根定理求解C上的多项式方程。

研究领域4：微积分

1、微积分和积分学

●函数的图形与其反导函数的图形之间的关系

●逆圆函数的导数

●链式法则在相关变化率和隐式微分中的应用:例如，关系x2 +y2 =9，3xy2 = x + y和x sin(y) +x2cos (y) =1的隐式微分

●反微分技术和定积分的计算:

●使用技术的数字和符号集成

●积分的应用、由曲线限定的区域面积、由参数确定的曲线的弧长、旋转实体的表面积、绕任一坐标轴旋转的区域的体积

2、微分方程

●在化学、生物学和经济学等领域中，在涉及速率的情况下(包括一些不需要解析解但可以使用技术数值求解的微分方程)微分方程的公式逻辑微分方程

●用方向(斜率)场验证微分方程的解及其表示

●形式的简单微分方程的解

●欧拉方法的数值解(一级近似)。

3、运动学:直线运动

●用速度-时间图描述和分析直线运动

●微分方程的微分、反微分和求解在直线运动中的应用

研究领域5：空间和测量

1、向量

•向量的加减运算，以及向量与标量的相乘，即位置向量

•一组向量的线性依赖性和独立性以及几何解释

•一个矢量的大小，单位矢量，正交单位矢量

•将矢量分解为矩形分量

•两个向量的标量(点)积，对向量系进行点积的推导，并用它来求标量刚角和向量刚角

•两个向量在三维空间中的向量(叉)积，包括行列式

•平行和垂直向量

•简单几何结果的向量证明，如“菱形的对角线是垂直的”、“三角形的中值是共线的”、“圆中直径的夹角是直角”。

2、矢量和笛卡尔方程

•涉及一个参数的二维或三维曲线的矢量方程和参数方程(以及二维情况下对应的笛卡尔方程)

•给定两点位置的直线矢量方程，或二维和三维的等效信息

•向量叉积，法向平面和向量，平面的参数方程和笛卡尔方程。

3、向量微积分

•位置矢量作为时间的函数，并绘制给定函数的相应路径，包括笛卡尔或参数形式的圆，椭圆和双曲线

•两个粒子的位置，每个粒子都被描述为时间的矢量函数，以及它们的路径是否相交或是否相遇

•矢量函数关于时间的微分和反微分，以及将矢量微积分应用于平面和三维运动。

研究领域6：数据分析、概率和统计

1、随机变量线性组合的分布

•对于具有均值和方差的独立同分布随机变量:

•对于独立随机变量和实数:

•对于正态分布的独立随机变量和实数，随机变量也是正态分布的。

2、样本均值的分布

•样本均值作为随机变量的概念，其值在样本之间变化

•随机变量有均值和标准差吗

•模拟重复随机抽样，从各种分布和样本量范围，

•为了说明固定大小的样本分布的性质，包括其平均值，标准差(其中和分别是平均值和标准差)及其近似正态性，如果是大的。

3、总体均值的置信区间

•均值置信区间的确定和使用模拟来说明样本间置信区间的变化，并表明置信区间包含的可能性取决于确定区间时所选择的置信水平

•近似置信区间的构造，其中为总体标准差，是标准正态分布的适当分位数;或近似置信区间的构造;其中为样本标准差，是标准正态分布的适当分位数，并且较大(在许多实际情况下≥30)。

4、从方差已知的正态分布或大样本中抽取样本，对总体均值进行假设检验

•零假设、替代假设、检验统计量的概念

•显著性和价值水平

•根据下列因素提出假设并作出关于总体平均值的决定:

•方差已知的正态总体中的随机样本

•从任何人口中抽取的大量随机样本

•单尾和双尾试验

•在问题的背景下解释假设检验的结果

•假设检验，根据条件概率将公式、行为、错误和结果联系起来。