一、Mathematics I 核心知识点

1.自然数及其顺序。归纳作为一种证明方法，包括具有非负积分系数的二项式定理的证明。

2.Sets，例子包括N、Z、Q、R、C和R中的区间。包含、并集、交集、幂集、有序对和集的笛卡尔积。关系。等价关系的定义。

3.函数：合成、限制;单射(一对一)、满射(上)和可逆函数;图像和预像。

4.线性方程组。矩阵和矩阵代数的开始。用矩阵来描述线性方程组。矩阵上的基本行运算(EROs)。将矩阵简化为阶梯形。应用于线性方程组的求解。

5.一个方阵的逆。简化的行梯队(RRE)形式和使用EROs来计算逆;该方法的计算效率。矩阵的位移;正交矩阵。

6.向量空间：场上的向量空间的定义(如R、Q、C)。Subspaces.许多向量空间和子空间的显式例子。

7.一组向量的跨度。例如，一个矩阵的行空间和列空间。线性依赖性和独立性。向量空间的基础;的例子。Steinitz交换引理;维度。矩阵：行空间和列空间、行秩和列秩。与向量空间的基相关联的坐标。

8.使用EROs来寻找子空间的基。子空间的和和交叉点;维度公式。子空间的直接和。

9.线性变换：定义和示例(包括与直接和分解相关的投影)。线性变换的一些代数;相反的。核和图像，秩零性定理。应用程序包括投影的代数刻画(如幂等线性变换)。

10.一个关于基的线性变换的矩阵。基定理的变化。应用程序包括证明一个矩阵的行秩和列秩是相等的。

11.双线性的形式，真实的内积空间;例子。提到复杂的内积空间。Cauchy-Swavz不平等。距离和角度。正交矩阵的重要性。

12.关于方阵行列式的介绍：存在性和唯一性。通过归纳法来证明存在性。通过从行列式的性质中推导出显式公式来证明唯一性。排列矩阵。(没有关于排列的一般性讨论)。行列式的基本性质，与体积的关系。行列式的乘法性，通过行运算进行计算。

13.行列式和线性变换：线性变换的行列式的定义，乘法性，可逆性和行列式。

14.特征向量和特征值，特征多项式，轨迹。不同特征值的特征向量是线性无关的。对角化的讨论。特征空间，特征值的几何和代数多重性。特征空间形成一个直接和。

15.革兰氏施密特程序。实对称矩阵的谱定理。二次形式和实对称矩阵。应用谱定理，通过正交变换和平移将二次曲线转化为正规形式。正交变换的分类声明。

16.对于一个群和一个交换群的公理。例如，包括几何对称群、矩阵群(GLn、SLn、On、Un)、循环群。组的产品。

17.在组合下的一个有限集合的排列。循环和循环符号。命令转位率;每一种排列都可以表达为转位的产物。一个排列的奇偶性是通过行列式来明确定义的。排列组的共轭性。

18.重述一个群中包含同余关系和共轭关系的等价关系。证明等价类划分了一个集合。辅集和拉格朗日定理的例子。一个元素的顺序。费马特的小定理。

19.轨道稳定定理。例子和应用，包括柯西定理和共轭类。

二、核心技能要求

1.能够使用标准的数学符号来描述、操作和证明关于集合和函数的结果;

2.了解并能够使用简单的关系;

3.培养良好的推理能力

4.具有遵循和构造简单证明的能力，包括数学归纳法证明(包括强归纳法、最小反例)和矛盾证明;

5.学习如何写出清晰而严谨的数学知识。

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