同学们大家学习辛苦啦，在炎热的夏天，刻苦学习的同学们也应该适当的放松一下身心，找些自己的兴趣爱好来辅助自己平时学习的压力，放松一下心情，当然了，这些都建立在不影响大家完成自己的学业的前提下。

最近学长收到了很多温莎大学同学发来的求助私信，说物理学的论文卡住了，不知道应该如何完成，其实学长看到物理学这门学科也挺头疼的，关键问题还是在于学长不知道大家的主要问题出在了哪里，如果是留求艺的专业加拿大论文辅导老师出马，可能就好了。

话虽如此说，不过学长还是尽到了自己最大的力量，帮助同学们找到了一些关于温莎大学物理学相关的一些知识要点，希望对同学们的学术论文写作有所帮助。

集成的物理应用

1、从一维物体的线性密度函数确定其质量。

2、从二维圆形物体的径向密度函数确定其质量。

3、计算沿直线作用的可变力所做的功。

4、计算将液体从一个高度泵到另一个高度所做的功。

5、求沉入水中的垂直板的静水压力。

质量和密度

我们可以用积分来发展一个基于密度函数计算质量的公式。首先我们考虑一根细杆或细线。调整杆的方向，使其与对齐 x -轴，杆的左端位于 x=a 杆的右端位于 x=b (图 1.6.1 ).请注意，虽然我们在图中描绘了具有一定厚度的杆，但出于数学目的，我们假设杆足够薄，可以被视为一维物体。

如果杆具有恒定的密度ρρ，以单位长度的质量给出，那么杆的质量只是密度和杆的长度的乘积:(b−a)ρ(b−a)ρ。然而，如果杆的密度不是恒定的，问题就变得更有挑战性了。当杆的密度从一点到另一点变化时，我们使用线性密度函数，ρ(x)ρ(x)为了表示杆在任何点的密度，xx。让ρ(x)ρ(x)是可积的线性密度函数。现在，为了i=0,1,2,…,ni=0,1,2,…,n让p=xip=xi是区间的规则划分[a,b][a,b]，并且对于i=1,2,…,ni=1,2,…,n选择任意点x∗i∈[xi−1,xi]xi∗∈[xi−1,xi]。数字1.6.21.6.2显示了杆的代表性部分。

质量mimi杆的一部分xi−1xi−1到xixi近似为

mi≈ρ(x∗i)(xi−xi−1)

    =ρ(x∗i)Δx.mi≈ρ(xi∗)(xi−xi−1)=ρ(xi∗)Δx.

将所有线段的质量相加，我们可以得到整个杆的质量近似值:

m=∑i=1nmi

    ≈∑i=1nρ(x∗i)Δx.m=∑i=1nmi≈∑i=1nρ(xi∗)Δx.

这是一个黎曼和。以极限为n→∞n→∞，我们得到了杆的精确质量的表达式:

m=limn→∞∑i=1nρ(x∗i)Δx

    =∫baρ(x)dx.

我们现在把这个概念推广到寻找二维半径圆盘的质量rr。就像我们在一维情况下看到的杆一样，这里我们假设圆盘足够薄，出于数学目的，我们可以将其视为二维物体。我们假设密度是以单位面积质量给出的(称为表面密度)，并进一步假设密度仅沿磁盘半径变化(称为径向密度).我们将磁盘定向在xy−planexy−plane，以原点为中心。那么，盘的密度可以被视为xx，表示为ρ(x)ρ(x)。我们假设ρ(x)ρ(x)是可积的。因为密度是xx，我们将区间从[0,r][0,r]沿着xx轴。为i=0,1,2,…,ni=0,1,2,…,n，让p=xip=xi是区间的规则划分[0,r][0,r]，并且对于i=1,2,…,ni=1,2,…,n，选择任意一点x∗i∈[xi−1,xi]xi∗∈[xi−1,xi]。现在，使用分区将磁盘分成薄的(二维)垫圈。下图描述了一个圆盘和一个代表性的垫圈。

我们现在近似垫圈的密度和面积来计算近似质量，mimi。请注意，垫圈的面积由下式给出

Ai=π(xi)2−π(xi−1)2

    =π[x2i−x2i−1]

    =π(xi+xi−1)(xi−xi−1)

    =π(xi+xi−1)Δx.

你可能还记得，当我们用壳计算体积时，有一个类似的表达式。正如我们在那里所做的，我们使用x∗i≈(xi+xi−1)/2xi∗≈(xi+xi−1)/2以近似垫圈的平均半径。我们获得

Ai=π(xi+xi−1)Δx≈2πx∗iΔx.

使用ρ(x∗i)ρ(xi∗)为了近似垫圈的密度，我们通过下式近似垫圈的质量

mi≈2πx∗iρ(x∗i)Δx.

把垫圈的质量加起来，我们看到了质量mm整个磁盘的大约

m=∑i=1nmi≈∑i=1n2πx∗iρ(x∗i)Δx.

我们再次认识到这是一个黎曼和，并把极限作为n→∞.n→∞.这给了我们

m=limn→∞∑i=1n2πx∗iρ(x∗i)Δx=∫r02πxρ(x)dx.

上面这些就是学长为大家辛苦总结出来的物理学中的某个知识点啦，可能学长只是为大家总结一些浅显的东西，论文写作方面的内容还需要留求艺的加拿大留学生论文辅导老师老帮忙了，学长预祝大家都能顺利完成自己的论文。