Hello~大家好，同学们在数学课程的学习中是否遇到过困难了呢?兰卡斯特大学马上面临考试不用慌，今天学姐为同学们讲述数学专业的课程知识，希望同学们可以从中找到自己需要的知识。

微分方程的基础学习目标

确定微分方程的阶。

解释微分方程的解是什么意思。

区分微分方程的通解和特解。

确定一个初始值问题。

确定给定的函数是微分方程的解还是初值问题。

初值问题

通常一个给定的微分方程有无穷多个解，自然会问我们要用哪一个。要选择一个解决方案，需要更多的信息。一些可能有用的具体信息是基础资料，这是一个有序对，用于查找特定的解决方案。

带有一个或多个初始值的微分方程称为初值问题。一般规律是，初值问题所需的初值个数等于微分方程的阶数。例如，如果我们有微分方程 y'=2x，那么 y(3)=七是一个初值，当这些方程合在一起时，就形成了一个初值问题。微分方程 y′′−3y'+2y=四ex 是二阶的，所以我们需要两个初始值。对于大于一阶的初值问题，自变量应使用相同的值。这个二阶方程的初始值的一个例子是 y(0)=2 和 y'(0)=−1. 这两个初值与微分方程一起构成一个初值问题。这些问题之所以如此命名，是因为未知函数中的自变量通常是 t，代表时间。因此，值为 t=0 代表问题的开始。

验证该功能 y=2e−2t+et 是初值问题的解决方案

y'+2y=3et,y(0)=3.

解决办法

对于满足初值问题的函数，它必须同时满足微分方程和初始条件。为了证明这一点 y 满足微分方程，我们开始计算 y'。这给 y'=−四e−2t+et。接下来我们两者都替换 y 和 y' 放入微分方程的左边并简化:

y'+2y=(−四e−2t+et)+2(2e−2t+et)=−四e−2t+et+四e−2t+2et=3et。

这等于微分方程的右边，所以 y=2e−2t+et 解微分方程。接下来我们计算 y(0) ：

y(0)=2e−2(0)+e0=2+一=3.

该结果验证了初始值。因此，给定的函数满足初值问题。

解决以下初始值问题:

y'=3ex+x2−四,y(0)=5.

解决办法

解决这个初值问题的第一步是找到一个通用的解族。为此，我们找到微分方程两边的反导数

∫y'dx=∫(3ex+x2−四)dx,

也就是说，

y+C一=3ex+一3x3−四x+C2。

我们能够整合两边，因为y项是自己出现的。请注意，有两个积分常数: C一 和 C2。解这个方程 y 给

y=3ex+一3x3−四x+C2−C一。

因为 C一 和 C2 都是常数，C2−C一 也是一个常数。因此，我们可以定义 C=C2−C一,这导致了等式

y=3ex+一3x3−四x+C。

接下来我们确定 C。为此，我们用 x=0 和 y=5 进入这个方程并求解 C ：

55C=3e0+一303−四(0)+C=3+C=2。

现在我们替换这个值 C=2 变成一般的方程式。初值问题的解决方案是 y=3ex+一3x3−四x+2.

分析

一般解和特殊解的区别在于，一般解涉及一族独立变量的函数，无论是显式的还是隐式的。一个或多个初始值决定了解决方案系列中的哪个特定解决方案满足所需条件。

以上是数学课程考试的相关理论知识，留学生在国外学习遇到考试前的知识梳理问题，都可以找留求艺的老师帮助，祝同学们都能顺利完成学业。